Фамилия Энджибадзе — одна из тех, где корень не сразу поддаётся расшифровке, а суффикс выдаёт грузинское происхождение. Окончание -дзе в грузинских фамилиях означает «сын» (как русское -ович) и было распространено в Западной Грузии, особенно в Имеретии, Гурии и Аджарии. Так что фамилия, скорее всего, оттуда.

Сложнее с основой «Энджиба». Самое прямое объяснение — от грузинского слова «энджиба» (ენჯიბა), которое означает «клещ» (насекомое). Прозвище Клещ могли дать человеку въедливому, цепкому или просто маленькому и юркому. В ономастике такие «насекомые» фамилии не редкость: в русском языке есть Комаров, Жуков, а в грузинском — Тваладзе (от «твали» — клещ, но это другое слово). Версия логичная, но не единственная.

Есть и другой вариант: «энджиба» могло быть диалектным вариантом или искажением от арабского или тюркского слова, занесённого в Закавказье. Например, в турецком есть «encümen» — собрание, совет, но это уже натяжка. Более правдоподобно, что корень связан с именем или прозвищем Энджиб, которое могло быть уменьшительным от какого-то полного имени (скажем, Энвер или Энгель, хотя последнее — советское веяние). В грузинских фамилиях нередко личные имена становились основами: Георгадзе от Георгий, Николадзе от Николай. Но имя Энджиб не фиксируется в известных святцах или популярных грузинских именах, поэтому версия с прозвищем «клещ» остаётся основной.

Географически фамилия редкая. В современных грузинских справочниках и базах данных Энджибадзе встречается единично, чаще в Аджарии и прилегающих районах. Возможно, это локальная фамилия, возникшая в одном селе или роде, а не массовая. В русском контексте носители фамилии появлялись в советское время, в основном среди грузинской диаспоры. Известных исторических деятелей с такой фамилией нет — это фамилия простых людей, скорее крестьян или ремесленников, а не княжеского рода.

Если копать глубже, то суффикс -дзе указывает на то, что фамилия сформировалась в эпоху позднего Средневековья, когда в Грузии закреплялись родовые прозвища. В отличие от фамилий на -швили («ребёнок»), которые были более демократичными, -дзе чаще носили люди, имевшие хоть какой-то социальный статус, но не обязательно знатные. Так что предки носителя фамилии — скорее всего, свободные крестьяне или мелкие дворяне, прозванные за характер или внешность.