Фамилия Эримш — редкая и, судя по структуре, нерусская по происхождению. В русском языке нет ни корня «эрим», ни типичного для русских фамилий суффикса (-ов, -ин, -ский). Окончание -ш указывает на немецкую или еврейскую (ашкеназскую) основу. Скорее всего, перед нами фамилия немецкого или голландского происхождения, записанная на слух в русской графике.

Исходная форма могла быть Eriemsch, Eriemse или Erimsch. В основе лежит личное имя или прозвище. В германских языках компонент «Ehr-» (честь, почёт) встречается в сложных именах вроде Ehrengard или Ehrenfried, но «Erim» может быть искажением от «Erwin» или диалектного «Eremit» (отшельник). Более вероятно, что фамилия образована от названия места или отчества с суффиксом -sch, характерным для восточнопрусских и силезских говоров. Например, фамилия могла звучать как «Эримс» (Erims) — от имени Эрим (краткая форма от Эрнст или Эрих), а русское окончание -ш добавилось при адаптации.

Есть и другая версия: фамилия могла возникнуть у евреев-ашкеназов, переселившихся в Российскую империю из Германии или Австро-Венгрии в XIX веке. В таком случае основа «Эрим» — это искажённое «Арим» (от ивритского «ари» — лев) или топоним (например, местечко Эрим в Восточной Пруссии). Суффикс -ш в еврейских фамилиях нередко обозначал принадлежность к общине или профессии (ср. Канторш, Раввинш).

Носители фамилии Эримш крайне малочисленны. В современных базах данных фамилия встречается единично, в основном на юге России и в бывших немецких колониях Поволжья. Это подтверждает версию о немецких корнях: предки могли быть колонистами, приглашёнными Екатериной II. Никаких сведений о дворянстве или известных исторических личностях с этой фамилией нет.

Таким образом, фамилию Эримш стоит рассматривать как немецкую или еврейскую, адаптированную к русскому произношению. Её носители, вероятно, были ремесленниками, фермерами или мелкими торговцами, переселившимися в Россию в XVIII–XIX веках. Точное значение исходного слова сегодня восстановить сложно, но наиболее правдоподобная гипотеза — это отчество от личного имени Эрим (Эрнст, Эрих).