Фамилия Ешкинкот — редкий случай, когда прозвище сохранилось в почти неизменном виде, минуя типичные русские суффиксы -ов или -ин. Она не «принадлежала сыну Ешки», а осталась цельным прозвищем, которое закрепилось за человеком и перешло к потомкам. Такие фамилии — скорее исключение, характерное для позднего закрепления прозвищ или для нерусского влияния.

Основа фамилии — «Ешкин кот». В народной речи «ешкин кот» — эвфемизм, замена нецензурного восклицания, возникшая от имени сказочного персонажа Бабы-яги (Ешки — уменьшительное от Яги). Человек, получивший такое прозвище, мог часто употреблять это выражение как междометие — в удивлении, досаде или для связки слов. В русских деревнях подобные «междометные» прозвища (типа «Черт», «Боже мой») давали говорливым или экспрессивным людям, чья речь запоминалась окружающим.

Менее вероятная, но формально возможная версия — связь с диалектным глаголом «ешкать» (кричать, аукать, звать с приглушённым звуком). В этом случае «ешкин кот» могло быть описанием человека, который кричит, словно кот, но такое толкование слабее: во-первых, глагол редок, во-вторых, конструкция «ешкин» как притяжательное прилагательное от «Ешка» (личное имя или прозвище) не находит подтверждения в антропонимике — нет записей о человеке по имени Ешка, от которого мог произойти «кот».

Фамилия могла возникнуть в среде крестьян или мещан — в тех сословиях, где прозвища фиксировались как фамилии стихийно, без вмешательства чиновников, которые обычно переделывали их в стандартную форму. Географически такие «неоглаголенные» фамилии чаще встречаются на севере и северо-востоке России, где дольше держалась традиция прозвищных фамилий без суффиксов. Однако конкретных архивных данных о распространении Ешкинкотов нет, и фамилия остаётся штучной, почти уникальной.