Фамилия Эвтушенко звучит как украинская, и это верно: она образована по типичной восточнославянской модели с суффиксом -енко, который в украинской ономастике означает «сын» или «потомок». В основе лежит имя Евтихий (в народной форме Евтух или Евтуш), что в переводе с греческого означает «счастливый», «удачливый». Со временем имя сократилось до уменьшительной формы Евтуш или Евтух, от которой и пошло прозвище, а затем — фамилия.

Интересна начальная буква «Э» вместо привычной «Е». В украинском языке после твёрдых согласных звук [е] часто переходит в [э], что на письме передаётся буквой «е», но в русской традиции такое произношение могли записывать как «Э». Так что написание «Эвтушенко» — не ошибка, а отражение живого произношения или местной диалектной черты, закреплённой в документах. Встречаются и варианты Евтушенко, Евтушенков, Евтух.

Фамилия бытует в основном на востоке Украины и в прилегающих областях России — там, где украинское население исторически смешивалось с русским. Носители фамилии в XIX веке чаще всего были крестьянами или казаками, поскольку фамилии на -енко в малороссийских губерниях носили в основном простые сословия, а не дворяне. Дворянские роды с такой фамилией — редкость, и они, как правило, вели начало от казацкой старшины, получившей потомственное дворянство.

Поскольку имя Евтихий было календарным (святым), фамилия не несёт профессиональной или прозвищной окраски — она просто «отчественная», то есть указывает на предка по имени. Если ваш предок носил фамилию Эвтушенко, скорее всего, его звали Евтух, Евтуш или Евтихий, и он жил в украинской среде, где фамилии на -енко были нормой.