Фамилия Евзюра — редкий случай, когда основа не очевидна даже для носителя языка. Если отбросить типовые суффиксы, остаётся корень «Евз-», который не встречается в русской лексике ни как имя, ни как нарицательное слово. Это сразу указывает на то, что фамилия не исконно великорусская, а пришла из другого языка, скорее всего, из белорусского или украинского.

Наиболее правдоподобная версия связывает Евзюру с западнорусским диалектным словом «ёвзя» или «евзя» — так в некоторых говорах называли овцу, а иногда и ягнёнка. Суффикс «-ур(а)» в восточнославянских фамилиях встречается нечасто, но он характерен именно для прозвищ, образованных от названий животных или качеств человека (сравните: Ховра — от ховрашок, суслик; Ковтун — от ковтун, спутанная шерсть). Таким образом, Евзюра могло быть прозвищем пастуха, человека, который занимался овцами, или просто шутливым именем для кого-то с кудрявыми, «овечьими» волосами.

Менее вероятна, но тоже возможна версия от личного имени Евсей (разговорная форма Евсюта, Евся). В этом случае фамилия прошла бы через форму Евсюра (с суффиксом -юр-), а затем, под влиянием акающего произношения, превратилась в Евзюра. Однако переход «с» в «з» в таком контексте нерегулярен, поэтому версия с овцой выглядит более естественной.

Географически фамилия тяготеет к юго-западу России и востоку Украины. Встречается она в единичных записях по Курской, Белгородской и Воронежской областям, а также на Слобожанщине. В XIX веке носители фамилии числились в основном среди государственных крестьян и казаков — то есть в среде, где прозвища, связанные с хозяйством и бытом, давали легко и без оглядки на сословную иерархию.

Словообразовательная модель проста: прозвище Евзюра (или Евзюра) сразу стало фамилией без дополнительных суффиксов — так называемая «украинская» модель на -а, которая закрепилась за родом. В русской традиции такие фамилии не склонялись по падежам в мужском роде, но в бытовой речи их часто подгоняли под привычный шаблон, добавляя -ов: Евзюров. Однако в документах и переписях XIX века форма Евзюра встречается чаще, что говорит о её устойчивости.

Фамилия не получила широкого распространения и не обросла легендами о дворянском происхождении. Её ценность для потомков — в прямом указании на занятие или внешность предка, который, скорее всего, был простым человеком, пасшим скот или жившим в местности, где овцеводство составляло основу хозяйства.