Фамилия Эйбоженко — одна из тех, где корень вызывает споры, а суффикс выдаёт географию. Она явно украинская по происхождению: суффикс -енко (уменьшительно-патронимический) указывает на «сына» или «потомка» человека, названного в основе. Такие фамилии массово формировались на Левобережной и Слободской Украине в XVII–XVIII веках, поэтому предки носителя фамилии почти наверняка жили на территории современной Украины, возможно, в Полтавской, Черниговской или Харьковской губерниях.

Сложнее с корнем «Эйбож-». Самая вероятная версия — это переделанное украинское прозвище или отчество от имени Ефим, которое в народной речи звучало как «Юхим» или «Охим». При переходе в фамилию звук мог исказиться: «Охим» → «Ойбож» → «Эйбоженко». Подтверждает это то, что на юге России и в Украине встречаются однокоренные фамилии вроде Ойбоженко, Эйбоженко и даже Ефименко — все они восходят к одному источнику.

Менее правдоподобная, но любопытная версия связывает корень с польским или белорусским «эбож» (от «eboz» — «безбожник»), но это маловероятно: фамилии на -енко почти не встречаются в польской традиции, а в украинской среде прозвище с негативным религиозным оттенком было бы редким.

Таким образом, фамилия Эйбоженко означает «потомок Эйбожа», где Эйбож — народная форма имени Ефим (от греческого «Эуфемиос» — «благочестивый»). Предки носителя были, скорее всего, крестьянами или казаками, так как фамилии на -енко в массе своей принадлежали непривилегированным сословиям. Сейчас фамилия встречается редко, в основном в Украине и в русскоязычных регионах, куда переселялись украинцы в XIX–XX веках.