Фамилия Эйдеюте — один из тех редких случаев, когда написание почти полностью выдает происхождение. Это не русская фамилия в привычном смысле, а литовская, причем женская по форме. В литовском языке фамилии различаются по роду: мужская форма оканчивается на -ас, -ис, -ус (например, Эйдеюс), а женская — на -е или -уте. Суффикс -юте (или -уте) — классический показатель незамужней женщины, дочери. То есть Эйдеюте буквально означает «дочь Эйдеюса» или «девушка из рода Эйдеюсов». Если женщина выходит замуж, фамилия меняется на Эйдеювене.

Основа фамилии — Эйдей- — скорее всего, восходит к литовскому личному имени Эйдис (Eidis) или его варианту Эйдейкис. В свою очередь, эти имена связаны с литовским глаголом eiti — «идти», «ходить». Корень eid- (как в слове eidamas — «идущий») мог лечь в основу прозвища подвижного, быстрого человека или того, кто много ходил — например, странника, гонца или пастуха. В литовской антропонимике такие прозвища от действия — не редкость.

Географически фамилия Эйдеюте почти наверняка привязана к территории исторической Литвы или к тем районам Беларуси и Польши, где веками жили литовцы (например, окрестности Вильнюса, Тракая, Шальчининкая). После разделов Речи Посполитой часть литовских фамилий попала в российские метрические книги, где их записывали на слух — так могли появиться варианты Эйдеют, Эйдеюта, но классическая литовская женская форма сохранилась именно с окончанием -те.

Сословной принадлежности по одной фамилии не определить: Эйдеюсы могли быть и крестьянами, и мещанами, и мелкой шляхтой. В Литве фамилии на -юте не указывают на знатность — это бытовая, народная модель, распространенная во всех слоях. Если вы встретили эту фамилию в современных российских документах, скорее всего, носительница — потомок литовских переселенцев, выехавших в XIX–XX веках в Сибирь или на Дальний Восток, либо человек, чьи предки жили в западных губерниях Российской империи.