Фамилия Фаерштеин — одна из тех, что безошибочно указывает на ашкеназское происхождение. Её основа — два немецких корня: «Feuer» (огонь) и «Stein» (камень). В идише и немецком языке такое сложение давало прозвище или искусственную фамилию, которую могли дать человеку, работавшему с огнём и камнем (например, кузнецу, каменотёсу) или владельцу дома с камином. Однако в массовом порядке фамилии этого типа в еврейской среде Австро-Венгрии и Германии конца XVIII — начала XIX века нередко давались произвольно, по красивой метафоре, без прямой связи с ремеслом.

Написание «Фаерштеин» — вариант транслитерации. В оригинале фамилия пишется как Feuerstein, что по-немецки означает «кремень». В русском языке встречаются разные формы: Фейерштейн, Фаерштейн, Фейерштеин. Окончание «-тейн» или «-штейн» — это калька с немецкого суффикса, который в русской передаче часто теряет «е» (как в фамилиях Штейн, Эпштейн). Вариант «Фаерштеин» с буквой «е» перед «и» — архаичный или диалектный, он фиксирует произношение, близкое к немецкому «Feuerstein», где дифтонг «eu» звучит как «ой», а не «ай». То есть носитель фамилии мог происходить из региона, где в идише или немецком говорили «Фойерштейн», а в документах записали на русский лад.

Словообразовательная модель проста: корень «фаер» (огонь) + корень «штеин» (камень). Суффикса, типичного для русских фамилий (-ов, -ин, -ский), здесь нет, так как фамилия не проходила русификацию. Это чистая немецкая композита, которая в славянском окружении осталась без изменений. Социально фамилия не указывает на дворянство или крестьянство — в еврейских общинах такие фамилии носили и ремесленники, и торговцы, и раввины. Известных носителей с таким написанием мало, чаще встречается вариант Фейерштейн. Если ваша фамилия именно «Фаерштеин», скорее всего, ваши предки жили на территории бывшей Австрийской империи (Галиция, Буковина) или в Германии, откуда эмигрировали в Российскую империю в XIX веке.