Фамилия Фагутист — редкий случай, когда основа слова почти наверняка указывает на конкретное, узкое занятие. В русском языке суффикс -ист традиционно обозначает лицо по профессии, склонности или идеологии (гитарист, машинист, атеист). В фамилиях он встречается нечасто, но именно он здесь — ключ к разгадке.

Скорее всего, в основе лежит слово фагут. Это устаревшее, диалектное или профессиональное название музыкального инструмента — фагота. Соответственно, «фагутист» — это фаготист, музыкант, играющий на фаготе. Фамилия образована по той же модели, что и, например, Гармонистов или Скрипачёв, но с использованием книжного суффикса -ист, а не более привычного -щик или -арь.

Версия с иноязычным корнем менее вероятна, но её стоит упомянуть. В некоторых западноевропейских языках (например, в итальянском fagotto — «вязанка, узел») слово могло означать нечто связанное с плетением или сборкой. Однако для русской фамилии такое объяснение было бы натяжкой: фамилии на -ист в массе своей пришли в Россию вместе с европейской культурой и наукой в XVIII–XIX веках, и музыкальная версия здесь самая прямая и логичная.

Интересно, что фамилия Фагутист могла быть не наследственной, а «второй», профессиональной кличкой, которая закрепилась за музыкантом в оркестре или полковом хоре. В крепостных театрах и военных оркестрах фаготисты были востребованы, и прозвище по инструменту легко могло перейти к детям как фамилия. Географически такие фамилии чаще встречались в городах и помещичьих усадьбах, где были оркестры, а не в крестьянской среде.

Таким образом, носитель фамилии Фагутист с высокой долей вероятности — потомок профессионального музыканта, игравшего на фаготе. Это редкий и чёткий след в истории, который не требует сложных лингвистических реконструкций.