Фамилия Фаиги — редкая и неочевидная с точки зрения русского уха. Её форма сразу настораживает: окончание -и нехарактерно для исконно русских фамилий, которые обычно заканчиваются на -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, застывшая в родительном или местном падеже, что типично для восточнославянских прозвищных фамилий на -их/-ых (например, Болдырих, Косых). Но здесь основа — «Фаиг», а не «Фаига». Это наводит на мысль о тюркском или кавказском происхождении.

Вероятнее всего, фамилия Фаиги образована от мужского имени Фаиг. В азербайджанском, турецком и некоторых других тюркских языках имя Фаиг (Faiq) означает «превосходящий», «выдающийся», «превосходный». Это имя восходит к арабскому корню, но широко распространено именно в тюркской среде. Соответственно, фамилия Фаиги могла возникнуть как русифицированная форма тюркской фамилии: к основе Фаиг добавили русский суффикс принадлежности -ов (Фаигов), но в диалектной или канцелярской записи окончание могло трансформироваться под влиянием местных говоров или просто из-за ошибки писаря. Встречается также вариант Фаигов — он более логичен с точки зрения русской грамматики.

Менее вероятна, но возможна версия, что фамилия происходит от прозвища из местного диалекта. В некоторых говорах «фаига» могло означать что-то вроде «хвастун» или «зазнайка» (от тюркского «файда» — польза, выгода, но с ироническим оттенком). Однако это лишь догадка, не подкреплённая словарями.

Географически фамилия Фаиги встречается крайне редко, в основном на юге России и в Закавказье — в Азербайджане, Дагестане, среди татар. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из тюркоязычной среды, возможно, имели отношение к торговле или ремёслам — имя Фаиг давали в надежде на успех и превосходство в деле. Фамилия не относится к дворянским или крестьянским в классическом понимании: это поздняя, часто советского времени, запись, когда тюркские имена и прозвища адаптировали под русские паспортные формы.

Итог: Фаиги — это не русская фамилия в исконном смысле, а русифицированная тюркская, образованная от имени Фаиг. Носители — потомки людей, чьи предки говорили на одном из тюркских языков и жили в регионах с сильным русским влиянием.