Фамилия Фалчари — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её носителей в России единицы, искать корни стоит не в славянских землях, а на Кавказе. Скорее всего, перед нами русифицированная или записанная по-русски форма фамилии, бытующей у осетин, ингушей или чеченцев.

Самый вероятный разбор: основа «Фалчар» (или «Фальчар») плюс окончание -и, типичное для фамилий народов Северного Кавказа (ср. Дзагоев — Дзаготи, Кодзаев — Кодзати). У осетин, например, суффикс -ты/-ти указывает на принадлежность к роду. Тогда Фалчари — это «из рода Фалчар» или «принадлежащий к клану Фалчар». Внутри этого слова угадывается тюркский или иранский корень, но точное значение без привлечения местных говоров установить трудно. Возможно, в основе лежит прозвище, связанное с внешностью, занятием или местом жительства предка.

Вторая, менее вероятная версия — что фамилия искусственно образована в советское время при паспортизации. Сотрудник ЗАГСа мог записать на слух сложную горскую фамилию как «Фалчари», закрепив такое написание юридически. В таком случае исходная форма могла звучать иначе, и восстановить её без семейных преданий почти невозможно.

Географически фамилия Фалчари встречается в записях среди осетин, а также в Чечне и Ингушетии. Носители, как правило, исповедуют ислам или традиционные верования Кавказа. Социальный состав предков — скорее всего, свободные общинники или воины, так как фамилии с таким окончанием редко указывают на княжеское или дворянское происхождение.

Искать однокоренные фамилии в русском языке бесполезно: ничего похожего ни в словарях Унбегауна, ни у Веселовского нет. Это полностью заимствованная, неадаптированная форма, которая не разлагается на славянские суффиксы и корни. Если вы носитель этой фамилии, самый надёжный путь — обратиться к семейным архивам и записям старшего поколения: именно они, а не этимологические словари, подскажут, из какого села или тейпа пошёл род.