Фамилия Фажет — редкий случай в русском ономастиконе. Скорее всего, она не имеет славянских корней, а пришла из французского или итальянского языка. В русской среде фамилия Фажет встречается настолько редко, что не фиксируется в массовых справочниках русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова). Это указывает на её позднее и, вероятно, единичное происхождение.

Если исходить из французской основы, фамилия может восходить к слову «fagot» (вязанка хвороста, пучок прутьев). Во французском языке слово «fagot» имело и переносное значение — так называли человека недалёкого или неуклюжего, либо, наоборот, того, кто вязал хворост (ремесленное прозвище). В итальянском языке существует слово «fagotto» — фагот (музыкальный инструмент) или также вязанка. Фамилия Фажет могла образоваться от уменьшительной формы «fagetto» (маленькая вязанка) или как вариант транскрипции итальянской фамилии Fagetti.

В России фамилия Фажет могла появиться вместе с французскими или итальянскими переселенцами — гувернёрами, ремесленниками, военнопленными (например, после войны 1812 года) или специалистами, приглашёнными в XIX веке. Встречаются единичные упоминания фамилии Фажет в метрических книгах западных губерний Российской империи, что подтверждает версию о западноевропейском происхождении. Суффикс -ет (в отличие от русского -ов/-ев) — верный признак нерусской модели словообразования.

Таким образом, носитель фамилии Фажет, скорее всего, потомок выходца из Франции или Италии, чей предок мог быть либо ремесленником, работавшим с хворостом или лозой, либо музыкантом-фаготистом. Второе значение (музыкальное) менее вероятно, так как в европейских фамилиях чаще закреплялись прозвища по роду занятий, а не по инструменту.