Фамилия Феджага — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с исходным звучанием, но при этом не даёт очевидной подсказки о происхождении. С первого взгляда видна нехарактерная для русских фамилий концовка: -ага. Такое окончание выбивается из ряда типичных суффиксов (-ов, -ин, -ский) и сразу указывает на иноязычную основу.

Скорее всего, фамилия имеет тюркские или кавказские корни. В тюркских языках -ага (или -ака) — уважительное обращение к старшему, означающее «старший брат», «дядя», «господин». Первая часть «Федж» может быть искажённым личным именем (например, Федя, Федот, Феодор) или местным прозвищем. Тогда «Феджага» — это «господин Федя» или «старший Федя», то есть прозвище, данное человеку по имени и статусу. Такое словообразование типично для народов Северного Кавказа, Закавказья и Поволжья, где к русским именам добавляли местные уважительные суффиксы.

Другая версия — фамилия происходит от адыгского (черкесского) слова «фэдж» (в разных диалектах — «плохой», «злой» или «чужой») и суффикса -га, образующего прилагательные. В этом случае «Феджага» могло означать «плохой человек» или «чужак», но такое прозвище вряд ли закрепилось бы как фамилия — скорее, это более позднее осмысление непонятного звучания.

Самый правдоподобный вариант — фамилия возникла в среде кубанских или терских казаков, которые активно контактировали с горскими народами. В казачьей среде нередко давали прозвища с тюркскими и кавказскими окончаниями: «Феджага» могло означать «Федя-горец» или «Федя-старший». Фамилия почти не встречается за пределами юга России — единичные носители есть в Краснодарском крае, Адыгее и Ростовской области.

Что касается социального статуса, то фамилии с суффиксом -ага не принадлежали дворянству. Это прозвищные фамилии простых людей — казаков, крестьян, мещан. Потому и официальная фиксация в документах произошла поздно, не раньше середины XIX века. Сейчас фамилия Феджага остаётся очень редкой — по открытым данным, в России её носит не больше нескольких десятков человек.