Фамилия Фелсберга — редкий случай, когда географическое происхождение почти очевидно, а социальный контекст — нет. Это типичная немецкая или австрийская фамилия, образованная по модели «топоним + суффикс принадлежности». Основа — «Фелсберг» (Felsberg): от немецкого «Fels» (скала, утёс) и «Berg» (гора). Буквально — «скалистая гора». Так называются несколько реальных населённых пунктов в Германии (в Гессене, Сааре) и в Швейцарии. Человек, получивший фамилию Фелсберг, скорее всего, был выходцем из одного из этих мест — либо владел там землёй, либо просто переселился и получил прозвище по прежнему месту жительства.

Окончание «-а» в русской передаче — это родительный падеж единственного числа в немецком языке, который в славянской традиции часто закрепился как неизменяемая форма фамилии. В немецком оригинале фамилия звучала бы как «фон Фелсберг» (дворянская приставка) или просто «Фелсберг». Приставка «фон» указывала бы на принадлежность к рыцарскому или баронскому роду, владевшему одноимённым замком или поместьем. Без «фон» — фамилия могла принадлежать и крестьянину, и ремесленнику, переехавшему из деревни Фелсберг.

В Российской империи такие фамилии встречались среди обрусевших немцев, особенно в Прибалтике, Поволжье и в Петербурге. Если ваш предок носил фамилию Фелсберга, он мог быть либо потомком остзейских дворян, либо колонистом, приглашённым Екатериной II. Второй вариант вероятнее: массовые немецкие переселения в Россию шли из юго-западных земель Германии, где как раз и находятся Фелсберги. Судя по окончанию, фамилия могла быть записана в документах на немецкий манер с русским падежным окончанием — типичная канцелярская практика XIX века.

Сравните с однокоренными фамилиями: Фельдберг (полевая гора), Штейнберг (каменная гора). Фелсберга — более редкий вариант; её носители в современной России исчисляются единицами, что подтверждает узкую региональную привязку или угасание рода.