Фамилия Фибирев — редкая и неочевидная по корню. Чтобы понять, откуда она взялась, придётся выбирать между двумя версиями, и обе ведут в одну сторону: к личному имени или прозвищу.

Первая и самая прямая версия: основа Фибир — это форма крестильного имени Фивей (Фивей). В русской традиции такие имена нередко укорачивали и добавляли уменьшительные суффиксы. От Фивея могли получить Фибир, Фибирь — по той же модели, что от Тимофей — Тимоха, от Иван — Иваш. А дальше суффикс -ев присоединили к основе на мягкий согласный: Фибирь — Фибирев. Имя Фивей встречается в святцах, но было редким, поэтому и фамилия не получила широкого распространения.

Вторая версия — прозвищная. В диалектах северных и центральных губерний могло бытовать слово «фибир» или «фибирь» в значении «непоседа», «вертлявый человек» или даже «плакса». Точных словарных фиксаций такого слова нет, но ономасты допускают, что прозвище могло возникнуть от звукоподражания (фи-фи — недовольное фырканье) или от искажённого «хибир» — хиляк, слабак. Если это так, то Фибирев — сын прозвищного человека, которого в деревне дразнили за характер.

Суффикс -ев указывает на отчество: Фибирев — буквально «чей?» — Фибирев, то есть сын Фибира. Фамилия патронимическая, то есть образована от имени отца, а не от профессии или места жительства. Географически она встречается точечно — в основном в Поволжье и на Урале, что типично для фамилий, возникших от редких личных имён: такие семьи не давали массовых «гнёзд», а оставались локальными.

Однокоренных фамилий почти нет. Встречается Фибиров (с ударением на и) — вариант того же корня, но с другим суффиксальным оформлением. Сравнение с Фибировым помогает понять, что основа не была устойчивой: в разных записях один и тот же человек мог фигурировать как Фибир и Фибирь.

Наиболее правдоподобно, что Фибирев — это «сын Фивея», редкого церковного имени. Прозвищная версия слабее, потому что не подкреплена диалектными источниками, но полностью исключать её нельзя — в ономастике сплошь и рядом случается, что редкое имя путают с диалектным словом.