Фамилия Финиудау — один из тех редких случаев, когда о происхождении можно говорить с высокой долей уверенности, хотя на слух она звучит непривычно для русского уха. Это не славянская и не тюркская фамилия, а румынская или молдавская. Её основа — румынское слово «fin» (фин), то есть «финн», и «iudău» (юдэу) — румынизированная форма от «evreu» (еврей). В буквальном переводе «Финиудау» означает «финн-еврей» или «финский еврей». Такое прозвище могло закрепиться за человеком, который по происхождению был евреем, но долго жил среди финнов, либо внешне или по поведению напоминал финна.

С точки зрения словообразования, фамилия образована по обычной для румынского языка модели: два слова слились в одно без дополнительных суффиксов. Окончание «-у» (а не «-ул») указывает на определённую форму мужского рода в румынском, характерную для имён и прозвищ. В русской записи фамилия сохранила исходное румынское звучание, что редкость: обычно такие фамилии русифицировали, добавляя «-ов» или «-ский». То, что этого не произошло, говорит о позднем появлении носителей в русскоязычной среде или о сознательном сохранении оригинальной формы.

Географически фамилия Финиудау почти наверняка происходит из исторической Бессарабии или Северной Буковины — регионов, входивших в состав Российской империи и Румынии, где жили смешанные общины евреев, румын, украинцев и молдаван. Встречается она крайне редко, и это не случайно: прозвище «финский еврей» могло возникнуть только в конкретном месте и в конкретное время, скорее всего, в конце XIX — начале XX века, когда в этих краях появились финские переселенцы или торговцы.

Если ваши предки носили фамилию Финиудау, с большой вероятностью они происходили из еврейской семьи, жившей в Молдавии или на юго-западе Украины. Прозвище, ставшее фамилией, могло быть дано либо соседями, либо чиновниками при оформлении документов — и закрепилось за одним родом. Никаких дополнительных суффиксов или изменений основы не было, поэтому этимология прозрачна, хотя и необычна: это не топоним и не профессия, а этническое описание с двойной привязкой.