Фамилия Флете — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано со славянскими корнями. В русской традиции фамилии, оканчивающиеся на -е, — это чаще всего застывшая форма родительного или дательного падежа, либо результат адаптации иноязычной основы. Для фамилии Флете наиболее вероятно, что перед нами — германская или прибалтийская фамилия, записанная в русском произношении.

Скорее всего, основа восходит к немецкому слову «Flöte» (флейта) или его диалектным вариантам. В таком случае прозвище Флете мог получить музыкант, игравший на флейте, или мастер, делавший эти инструменты. В немецких землях фамилия Flöte встречается с XIV века, и её носители действительно были связаны с музыкой. Альтернативная, но менее вероятная гипотеза — связь с нижненемецким «flöt» (плоский, ровный), что могло быть прозвищем человека с плоской ступнёй или жившего на равнине.

Второй вариант — балтийское происхождение. В литовском и латышском есть основа «flet-» (плетень, изгородь), но для фамилии это редкое значение. Географически носители фамилии Флете в Российской империи фиксировались преимущественно среди немецких колонистов Поволжья и Причерноморья, а также в остзейских губерниях (современные Латвия и Эстония). В XIX веке фамилия встречалась в метрических книгах лютеранских приходов Самарской и Саратовской губерний.

Суффиксальная модель здесь не работает: окончание -е — это не русский суффикс, а часть исходной иноязычной формы. Фамилия не склонялась по падежам в русском языке, что типично для поздних заимствований. В советское время, после депортации немцев, часть носителей могла русифицировать фамилию, сменив окончание на -ов или -ин, но исходная форма Флете сохранилась у небольшого числа семей.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в списках немецких колонистов XVIII–XIX веков или в лютеранских церковных книгах. Среди дворянства или купечества фамилия не отмечена — это, скорее всего, фамилия ремесленника или крестьянина-колониста.