Фамилия Фоывев — редчайший случай в русской ономастике. Она не встречается ни в одном из доступных справочников по русским фамилиям (ни у Унбегауна, ни у Никонова, ни в региональных сводах). Скорее всего, перед нами либо опечатка в исходных данных, либо результат искажения при переписи, либо искусственно созданная фамилия в советское время. В русском языке нет корня «фоыв-» и суффиксального сочетания, которое бы давало такое написание.

Если предположить, что это всё же не ошибка, то единственный правдоподобный путь — фамилия могла возникнуть в результате нескольких трансформаций. Например, исходная фамилия Фофанов, Фофонов или Фотин (от имени Фотий или Фофан) при записи «на слух» в малограмотной среде могла превратиться в Фоывев. Буквосочетание «ыв» вместо «ф» или «в» — типичная описка или диалектное произношение. Другой вариант: фамилия образована от прозвища, но ни в одном диалектном словаре слова «фоыва» или «фоыв» нет.

Таким образом, для носителя фамилии Фоывев самый вероятный ответ — это искажённая форма другой, более распространённой фамилии. Чтобы узнать точнее, стоит обратиться к архивам по месту жительства предков: в метрических книгах и ревизских сказках XIX века фамилия, скорее всего, писалась иначе. Если же это современное изобретение (например, при смене фамилии в паспортном столе), то этимология отсутствует — фамилия не имеет исторического корня в русском языке.