Фамилия Фрижакина — женская форма от Фрижакин, и её разговор стоит начать с суффикса, который сразу выдаёт региональную принадлежность. Суффикс -ин указывает на притяжательное значение: «чей?» — Фрижакин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Фрижака. А вот основа Фрижак- — это уже загадка.

Скорее всего, корень здесь не русский, а заимствованный. Фрижак или Фрижака могло быть прозвищем, образованным от слова «фриз» (фризский, то есть выходец из Фрисландии — исторической области на севере Нидерландов и северо-западе Германии). В русских говорах «фриз» или «фрязин» (искажённое «фряг», «фрязин») означало вообще иностранца, особенно итальянца или западноевропейца. Отсюда же фамилии Фрязинов, Фрякин. Фрижакина, вероятно, стоит в том же ряду: предка могли прозвать Фрижаком — «чужаком», «иноземцем», возможно, с оттенком пренебрежения или просто по внешнему признаку.

Менее вероятная, но допустимая версия — от глагола «фрижать» (диалектное, означавшее «шалить, проказничать» или «лениться»). В этом случае Фрижака — прозвище озорного или нерадивого человека. Однако распространённость «иностранного» корня в русских фамилиях выше, и связь с «фрязином» выглядит убедительнее.

Фамилия редкая. В дореволюционных источниках и современных справочниках она не фиксируется массово, что говорит о её локальном бытовании — возможно, на севере или в центральных губерниях, куда заходили иноземные мастера и купцы. Встречается и вариант Фрижаков (с суффиксом -ов), что типично для фамилий, образованных от прозвищ на -ак: Фрижаков — «сын Фрижака». Фрижакина — его женская параллель.

Если исходить из первой версии, предки носительницы фамилии могли быть выходцами из западных земель, осевшими в России и получившими прозвище по происхождению. В любом случае, фамилия Фрижакина — один из тех редких ономастических случаев, где корень не стёрся до неузнаваемости, а сохранил связь с этнической или диалектной характеристикой человека.