Фамилия Фщуиоаи — это почти наверняка не русская фамилия в привычном понимании, а редчайший случай искажения или опечатки при записи. В русском языке нет корней, суффиксов или основ, которые могли бы породить такое сочетание согласных. Скорее всего, перед нами результат неверной транслитерации или переписывания фамилии из другого алфавита.

Вероятнее всего, исходная фамилия звучала как Фщуйоай, Фщуйоаи или Фщуиой. Такое нагромождение букв «щ», «у», «и», «о» и «а» характерно для языков с богатой консонантной системой, например, для некоторых кавказских (адыгских, абхазских) или тюркских языков. В этих языках сочетания шипящих и свистящих — обычное дело, а на письме они передаются через стечение согласных, непривычное для русского уха.

Вторая версия — фамилия могла быть искусственно изменена при переезде или в советских паспортных столах. Неграмотный писарь или машинистка, услышав сложную фамилию, могли записать её на слух, получив абсолютно нечитаемый и нелогичный для русского языка набор букв. Например, исходная фамилия могла быть Фщуйоа (без последней «и») или Фщуиой, а при переписи в неё вкралась лишняя гласная.

Поскольку фамилия не имеет славянских корней, её этимология не восходит к прозвищам, ремёслам или именам. Если это не опечатка, то носители такой фамилии — крайне редкое явление, и их предки, скорее всего, были выходцами из регионов, где языки допускают подобные сочетания звуков. Установить точное происхождение без знания исходного написания (например, на латинице или грузинском алфавите) практически невозможно.