Фамилия Фяльмезкитимнякоев — случай, когда этимология почти наверняка лежит не в русском, а в одном из языков народов Северного Кавказа. Скорее всего, перед нами фамилия адыгского (черкесского) или абазинского происхождения, возможно, с абазинским корнем «кыт» (село, аул) или «тым» (род, племя). Компонент «Фяльмез» может восходить к личному имени или прозвищу, где «фя» — распространённый адыгский формант, указывающий на принадлежность к определённому роду или социальной группе. Суффикс «-ко» в адыгских фамилиях означает «сын» или «потомок» (ср. Шхалахов, Хакуринов), а русское окончание «-ев» — уже позднейшая русификация при записи в документах.

Разберём модель. Основа «Фяльмезкитимняк» — это, вероятно, сложное слово, где «Фяльмез» — первая часть, «кити» (или «кыт») — вторая, а «мняк» — искажённое «мэкъу» (по-адыгски «пастух») или «мыкъу» (сильный). Таким образом, исходное прозвище могло означать «потомок пастуха из рода Фяльмеза» или «сын сильного из села Фяльмез». Географическая привязка, скорее всего, к аулам Карачаево-Черкесии или Адыгеи, где фамилии с таким суффиксом и корнями встречаются чаще всего.

Спорный момент — происхождение «Фяльмез». Если это абазинское имя, то «Фя» может быть сокращением от «Фяра» (светлый, счастливый), а «льмез» — от «лъэмыз» (неутомимый). В адыгской версии «Фяльмез» — возможная диалектная форма имени Пальмес или Фельмес, известного в фольклоре. В любом случае, фамилия отражает родовую организацию: предки носителя, вероятно, были не князьями и не дворянами, а свободными общинниками или пастухами, чей род получил имя по месту или занятию.

Редкость фамилии — дополнительный ключ. Если носителей Фяльмезкитимнякоев немного, это указывает на узколокальное бытование, возможно, в одном-двух аулах. При переписях и паспортизации в XIX–XX веках такие длинные составные фамилии могли записывать с ошибками или сокращать, поэтому современный вариант — результат многократной русификации через русскую администрацию. Сравните с однокоренными: Китминяков, Тымняков — они встречаются чаще и проще для разбора.