Фамилия Фязанкин — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычных «профессиональных» суффиксов вроде -ов или -ин, которые сразу указывают на отчество. Здесь работает суффикс -анк- (-янк-), типичный для прозвищных фамилий восточнославянского ареала, особенно в южнорусских и украинских говорах. Такие фамилии часто образовывали от личных имён или прозвищ с уменьшительно-уничижительным оттенком: скажем, Федя → Федянка → Федянкин. Но основа «Фяз-» — совсем нестандартная.

Самая вероятная версия: в основе лежит прозвище Фяза (или Фязя), которое могло быть искажением или диалектной формой имени Афанасий. В народной речи «Афанасий» нередко превращалось в «Фаня», «Фанюша», а в некоторых говорах — в «Фязю» через замену «н» на «з» или под влиянием местного произношения. Тогда Фязанкин — буквально «сын Фязи» (Фяза + -анк- + -ин). Менее вероятно, но возможно, что корень связан с глаголом «фязить» (в рязанских и тамбовских говорах — говорить невнятно, мямлить) или с диалектным «фязга» — вялый, медлительный человек. В таком случае фамилия отражает особенность поведения предка.

Географически фамилия привязана к центральным и южным областям России, где встречаются похожие по модели фамилии (Федянкин, Степанкин, Иванкин). В дореволюционных переписях Фязанкины фиксировались в основном в Тамбовской и Рязанской губерниях — это косвенно подтверждает связь с местной диалектной лексикой. Сословно носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами: фамилии с суффиксом -анк- редко встречались у дворянства.

Написание фамилии устойчиво, с буквой «я» в корне, что отличает её от возможных ошибочных вариантов вроде «Физанкин» или «Фязанков». Встречаемость низкая — в современных базах данных по России насчитывается не более нескольких десятков человек с такой фамилией, что делает её ценной для генеалогического поиска. Если ваш предок — Фязанкин, стоит искать корни в южнорусских сёлах, где фамилии на -анкин были обычным делом, а имя Афанасий — одним из самых распространённых.