Фамилия Гачинська — типичный пример украинской фамилии, образованной по женскому роду от мужской основы. Её мужской вариант — Гачинський. Поскольку вы носите именно женскую форму, сразу уточним: в украинской традиции такие фамилии не склоняются по падежам, как в русском языке, а остаются неизменными. Сама модель на -ський/-цький указывает на дворянское или шляхетское происхождение в Польше и на западе Украины, но на практике такую фамилию мог получить и крестьянин, переселившийся из села, названного в честь владельца или географического объекта.

Корень фамилии — Гач- (укр. «гач» — крюк, багор). Это могло быть прозвище человека с цепкими руками, горбатым носом или того, кто пользовался багром в работе (рыбак, строитель плотов). В украинских говорах «гач» также означало крючок для вязания или застежку. Менее вероятная, но возможная версия — от тюркского «гач» (дерево) или польского «hacz» (зацепка), что давало бы похожую семантику.

Географически фамилия привязана к западным регионам Украины — Волыни, Галичине, Подолью. Там есть несколько сел с названием Гачин (например, Гачин в Ивано-Франковской области). Житель такого села получал прозвище Гачинський, а его жена или дочь — Гачинська. В польских метриках XVIII–XIX веков эта фамилия встречается в окрестностях Львова и Тернополя, что подтверждает её шляхетский или мещанский след.

Обратите внимание на написание: через «и» в корне и с мягким знаком перед «ська». Это чисто украинская орфография, в отличие от русской «Гачинская». Если ваши предки жили на территории бывшей Австро-Венгрии, фамилия могла записываться латиницей как Haczyńska — с характерным польским «rz» (читается как «ж»). В советских паспортах её часто русифицировали, заменяя окончание на «-ая», но оригинальная форма сохранилась в украинских семьях.

Сословно: носители фамилии Гачинський/Гачинська редко принадлежали к высшей аристократии. Чаще это была мелкая шляхта (застянковая), которая владела небольшим наделом земли, или казаки. В XIX веке многие из них перешли в крестьянское сословие, особенно после отмены крепостного права. Если найдёте метрики, ищите записи о «шляхтичах незаможных» или «вільних людях» — это ваш круг.

Сравните с однокоренными фамилиями: Гачковський (от «гачок» — крючок, уменьшительное), Гач (простая форма без суффикса), Гаченко (украинский патроним на -енко). Все они расходятся от одного прозвищного корня, но Гачинська — самая «географическая» из них, указывающая на конкретное место жительства.