Фамилию Гагевгке, скорее всего, не стоит искать в русских словарях. Судя по её звучанию и структуре, это не исконно русская фамилия. Она имеет явные признаки немецкого или прибалтийско-немецкого происхождения. Ключевой элемент — окончание «-ке» (в оригинале могло быть -ke), которое характерно для нижненемецких и некоторых славянских фамилий, адаптированных в немецкой среде.

Основа «Гаге-» (Gage) в немецком языке имеет несколько значений. Самое прямое — «залог», «заклад» или «жалованье». Однако для фамилии более вероятна топонимическая версия: Gage могло быть названием хутора, болота или небольшой местности. В восточной Германии и бывшей Пруссии существовали поселения с похожими названиями. В таком случае фамилия указывала на выходца из этого места — человека, который «из Гагев» (von Gage).

Вторая часть, «-вгке», скорее всего, является искажением при записи. В оригинале фамилия могла выглядеть как Gagevke или Gagefke. Суффикс «-вке» (в немецком написании -wke или -fke) — редкий. Он мог возникнуть как попытка передать на письме диалектное произношение или как результат слияния двух слов: например, Gage + wich (деревня, селение в нижненемецком). Таким образом, Гагевгке могло означать «деревня Гаге» или «человек из той деревни».

Написание «Гагевгке» — это русская транслитерация, которая закрепилась, вероятно, в паспортах или метрических книгах XIX — начала XX века. Носители этой фамилии могли быть потомками немецких колонистов, приглашённых в Россию при Екатерине II, или выходцами из Прибалтики (Лифляндия, Курляндия). Сословно это могли быть ремесленники, пасторы или крестьяне.

Других правдоподобных версий нет. Связывать эту фамилию с русским словом «гага» (птица) или кавказскими корнями невозможно — это будет натяжка. Фамилия редкая, и её происхождение плотно связано с немецкой ономастикой и историей переселения немцев на восток.