Фамилия Гагишкис — явный пример литовской модели фамилии, и в этом её главная особенность. Окончание -ис (в мужском роде) и -ене (в женском) — типичный литовский суффикс, который в русском языке часто передаётся как -ис, -ус, -ас. Таким образом, Гагишкис — это не русская, а литовская (или жемайтийская) фамилия, попавшая в русский обиход.

Основа фамилии — Гагишк-. Скорее всего, она образована от литовского прозвища или имени Gagys, которое, в свою очередь, связано с gagėti (гоготать, кричать по-гусиному) или с gaga (гусь). В литовской ономастике такие прозвища часто давали людям с громким, резким голосом или, возможно, с длинной шеей. Суффикс -ишк- (-iškis) в литовском языке указывает на принадлежность к местности или на происхождение от кого-то: Гагишкис — «сын Гагиса» или «человек из рода Гагисов».

С географической точки зрения, фамилия характерна для северо-западной Литвы (Жемайтия) и для приграничных районов Латвии, где литовские окончания смешивались с латышскими. В России и Беларуси такие фамилии встречаются редко, в основном у потомков литовцев, переселившихся в XIX веке.

В отличие от многих русских фамилий (на -ов, -ин), которые указывали на отца (чей?), литовская модель Гагишкис сразу передаёт родовую принадлежность. Это не профессия и не внешность, а прямая отсылка к родоначальнику, которого когда-то прозвали Гусями или Гоготуном.