Фамилия Гаицгори — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает любую этимологию по прозвищу или имени. Корень фамилии — грузинский топоним Гаицгори, село в Горийском районе Грузии. Формант -и на конце — стандартный для грузинских фамилий номинатив (именительный падеж), указывающий на принадлежность к роду или месту. Таким образом, Гаицгори — это «тот, кто из Гаицгори», то есть выходец из этого села.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна: основа топонима (Гаицгор-) плюс суффикс принадлежности -и. В грузинской ономастике такой тип фамилий называют «территориальными» или «топонимическими». Они не редкость, но каждая конкретная фамилия уникальна из-за привязки к конкретному месту. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от личных имён, грузинские фамилии на -и гораздо чаще прямо указывают на малую родину предка.

Само название села Гаицгори, скорее всего, восходит к грузинским словам «гаи» (возможно, вариант «га» — скала, утес) и «цгори» (цгори — холм, возвышенность). В итоге получается что-то вроде «скалистый холм» или «утес на холме». Но это реконструкция, а не точный перевод; грузинские топонимы часто имеют сложную и не до конца ясную этимологию, особенно в горных районах.

Фамилия Гаицгори не входит в списки распространённых грузинских фамилий. Она локальная, характерная для региона Шида-Картли, где находится Гори. Носители такой фамилии, вероятно, происходят из одного или нескольких соседних родов, которые столетиями жили в этом селе. Сословная принадлежность могла быть разной: от крестьян до мелких дворян (азнауров), но без конкретных генеалогических данных утверждать что-либо сложно.

В русском языке фамилия склоняется по правилам грузинских фамилий на -и: Гаицгори (именительный падеж), Гаицгори (родительный), Гаицгори (дательный) и так далее. Ударение, скорее всего, падает на первый слог: Га́ицгори, но в разговорной речи возможны варианты. Это одна из тех фамилий, которые не вызывают споров об этимологии: ответ лежит на карте.