Фамилия Гавшаев — редкая и по своей структуре нестандартная для русского языка, что сразу наводит на мысль о восточных или тюркских корнях. В ней нет привычных русских суффиксов принадлежности (-ов/-ев, -ин), а есть формант -ев, который в данном случае прирос к основе, звучащей как «Гавш». Это типично для фамилий, возникших на стыке культур, особенно в регионах Поволжья, Приуралья или Северного Кавказа, где русская модель фамилии накладывалась на местное имя или прозвище.

Разбираем основу. «Гавш» — это искажённое или адаптированное на русской почве слово, которое, скорее всего, восходит к тюркскому «кавш» или «кавыш». В тюркских языках, например в татарском или башкирском, «кавыш» означает «тростник», «камыш». Прозвище Кавыш (или Гавш) могли дать человеку за высокий рост, худобу или за то, что он жил в камышовых зарослях. Вторая версия, менее вероятная, но встречающаяся в ономастике, — связь с арабским именем Гаус (Гаус ад-Дин), что значит «помощь», «спасение». При переходе в тюркскую среду конечный звук мог оглушиться или измениться до «Гавш».

Словообразовательно фамилия проста: к основе Гавш- добавили русский патронимический суффикс -ев, который в данном случае не указывает на отчество (чей?), а стал средством русификации. То есть носитель фамилии — потомок человека, которого в русскоязычной среде записали как Гавша (или Гавш), а далее пошла фамилия Гавшаев. Это типичный пример фамилии, которая «одета» в русскую грамматику, но хранит иноязычную основу.

По сословной принадлежности сказать что-то определённо сложно. Фамилия недворянская, не встречается в старых родословных книгах. Скорее всего, её носители — крестьяне или мещане из регионов смешанного тюрко-русского населения: бывшая Казанская, Оренбургская или Уфимская губернии. Встречаемость фамилии крайне низкая, что говорит о её локальном характере — возможно, она возникла в одном селе или роде и не получила широкого распространения.

Таким образом, Гавшаев — это фамилия-гибрид, где за русским окончанием стоит тюркское прозвище, описывающее внешность или место жительства предка. Если искать однокоренные фамилии, то ближе всего будут Кавшаев, Камышев и Гавшиков — все они вращаются вокруг того же корня «камыш» или его диалектных вариантов.