Фамилия Гавяжкин — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. На первый взгляд, в ней угадывается что-то связанное с «говядиной», но это ложный след. В русских говорах и соседних языках «гавязь» или «гавяжий» — не что иное, как «говяжий», то есть относящийся к крупному рогатому скоту. Однако в основе лежит не мясо, а прозвище или даже мирское имя, данное по характерному признаку. Слово «гавяжкин» образовано от прилагательного «гавяжий» (с суффиксом -к-), то есть буквально «говяжий», а затем по модели фамилий-притяжательных: чей? — Гавяжкин, то есть сын или потомок Гавяжки (человека с прозвищем Гавяжка).

Прозвище Гавяжка могло закрепиться за пастухом, скотником, мясником или просто за человеком, который чем-то напоминал быка — внешностью, упрямством, силой. В русских говорах слово «гавяжий» фиксируется как диалектный вариант «говяжий», и такое фонетическое чередование (гов- / гав-) характерно для северных и центральных областей России, где аканье сказалось и на произношении: «гавядина» вместо «говядина». Таким образом, географически фамилия Гавяжкин скорее всего возникла в среде крестьян или посадских людей нечерноземной полосы, возможно, в бывших Новгородских или Вятских землях.

Словообразовательная модель с суффиксом -кин типична для русских фамилий от основ на -а/-я: Гавяжка → Гавяжкин. Это указывает на то, что исходное прозвище было склоняемым и оканчивалось на -а, что характерно для прозвищ, а не для канонических имен. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от полных имен, -кин — признак более тесной, бытовой связи с прозвищем. В дореволюционных переписях эта фамилия если и встречалась, то в единичных экземплярах, что подтверждает её локальный и относительно поздний характер.

В ономастических источниках (например, в работах Б. Унбегауна) аналогичные фамилии от диалектных форм слова «говяжий» не выделяются как отдельная группа, но сам принцип — от прилагательного через прозвище — типичен для русского фамильного фонда. Гавяжкин — не переделка и не искусственная фамилия, а живое свидетельство народной фонетики: когда-то в деревне говорили «гавяжье мясо», а потом прозвали так человека, и прозвище закрепилось за родом. Никаких известных дворянских родов или знаменитых носителей с такой фамилией не зафиксировано, что делает её чисто крестьянской по происхождению.