Фамилия Гавынякин — редкий пример, где основа и суффикс вступают в противоречие. На первый взгляд, перед нами типичная «-ин» фамилия: суффикс -ин в русской модели присоединяется к основам на -а/-я (Гавыняка → Гавынякин). Но если бы основа звучала как «Гавыняк», мы бы получили Гавыняков. Значит, предка действительно звали Гавыняка — и это прозвище, а не фамилия на -як.

Корень «гав» в русских говорах почти всегда связан с собакой: «гавкать», «гавкун» (крикун, бранчливый человек) или «гавыря» — вялый, медлительный человек (тульские и рязанские говоры). Вторая часть «-ыня» — типичный прозвищный суффикс, который придаёт слову оттенок свойства или качества (ср. «грязнуля», «копуша»). Получается, что Гавыняка — это человек, которого дразнили за собачью привычку лаять, то есть за сварливость или пустую болтовню. Впрочем, есть и более прозаичная версия: в некоторых диалектах «гавыня» означало просто «ротозей» или «зевака» — от глагола «гавить» (глядеть, таращиться). Тогда прозвище могло закрепиться за рассеянным или любопытным человеком.

Словообразовательная модель необычна: двойной суффикс -ын-як. Обычно -як образует фамилии от прилагательных или существительных (Добряк, Глушак), но здесь он прирос к уже готовому прозвищу на -ыня. Такие цепочки встречаются редко и говорят о народном, некабинетном происхождении фамилии — её не придумывал священник или чиновник, она сложилась в крестьянской среде.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским областям: Рязанская, Тамбовская, Пензенская губернии. В документах XVIII–XIX веков однодворцы и государственные крестьяне с такой фамилией встречаются именно там. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или однодворческая. Дворянских родов Гавынякиных в гербовниках нет.

Написание устойчивое, без вариантов: Гавынякин, через «ы» в корне. Если бы фамилия произошла от имени Гавриил (в просторечии Гаврила), мы бы видели Гавырикин или Гавылкин — но здесь корень иной. Так что перед нами чисто прозвищная фамилия, в основе которой — бытовая характеристика человека, данная соседями.