Фамилия Гайаускайте (литовская форма Gajauskaitė) — это типичная литовская фамилия, которая сразу указывает на пол и семейное положение носительницы. Окончание -aitė (в русской передаче -айте) — это суффикс, образующий девичью фамилию для незамужней дочери. Он буквально означает «дочь такого-то». В данном случае основа — мужская фамилия Гайаускас (Gajauskas). То есть Гайаускайте — это «дочь Гайаускаса», и такой способ образования фамилий — одна из характерных черт литовской антропонимической системы, где у мужчин, замужних женщин и девушек фамилии различаются.

Сама основа Гайаускас, скорее всего, восходит к литовскому прилагательному «gajus» — «живучий», «стойкий», «жизнеспособный». В более широком смысле это слово могло описывать человека деятельного, активного, бойкого, выразительного — того, кто буквально «полон жизни». Таким образом, фамилия изначально содержала указание на личностные особенности своего первого носителя: прозвище Гайус или Гайаускас могли дать человеку с крепким здоровьем и ярким темпераментом.

С точки зрения словообразования, фамилия Гайаускайте не имеет ничего общего с русскими и польскими фамилиями на -ский/-цкий, которые обычно указывали на географическое происхождение. Суффикс -auskas в литовском языке нередко встречается в фамилиях, образованных от прилагательных, и в данном случае он помог превратить качественную характеристику (живучий) в родовое имя. Встречаются и однокоренные варианты, например, Гайунас или Гайутис, но Гайаускайте — одна из самых узнаваемых форм именно благодаря своему «дочернему» окончанию.

Если вы ищете предков с этой фамилией, стоит помнить, что в исторических документах Российской империи, куда входила Литва, фамилии могли записывать по-разному: то с русским окончанием (Гайаускас), то с ополяченным (Гайауский). Но литовское происхождение и связь со словом «gajus» остаётся наиболее прозрачной и правдоподобной версией. В современной Литве фамилия Gajauskaitė не считается редкой, но и не входит в число самых распространённых — она встречается в разных регионах, без ярко выраженной локальной привязки.