Фамилия Гайдышкины — редкая, и её разбор начинается не с корня, а с суффикса. Форма на -ыны (а не на стандартное -ины) — верный признак севернорусского или сибирского происхождения. В старых русских говорах, особенно в Архангельской, Вологодской и Вятской губерниях, фамилии во множественном числе на -ы, -ыны писались как родовое имя: «Гайдышкины» буквально значило «семья, дом Гайдышки». Такая модель типична для крестьянских фамилий, которые закреплялись за целым родом в одном селе или деревне.

Основа фамилии — Гайдышк(а). Это уменьшительно-пренебрежительная форма от прозвища Гайда или Гайдук. Слово «гайда» в южнорусских и украинских говорах имело два значения: «буйный, беспокойный человек» (от тюркского «гайда» — крик погонщика) или «пастух, погонщик скота». Гайдуками же на Руси называли легковооружённых воинов, а позже — бродяг и разбойников. Поскольку фамилия бытует в северной огласовке (суффикс -ышк- характерен для северных говоров), правдоподобнее версия, что Гайдышкой прозвали неспокойного, крикливого человека — того, кто «гайдакал», то есть шумел и командовал.

Есть и более прозаичная версия: в некоторых псковских и тверских говорах «гайда» означало «беда, хлопоты», а «гайдыш» — «непоседа, егоза». Тогда фамилия отражает не род занятий, а характер родоначальника: суетливого или хлопотного человека.

В документах фамилия почти не встречается. Известно, что Гайдышкины — старожилы нескольких деревень в Кировской области (бывшая Вятская губерния). Вятка — регион, где фамилии на -ыны особенно часты, и где осели переселенцы с русского Севера. Таким образом, носитель фамилии Гайдышкин почти наверняка имеет корни в северной или вятской деревне, а его предок в XVI–XVII веках получил прозвище за шумный нрав или, что реже, за пастушеское ремесло.