Фамилия Гайкунова — женская форма от Гайкунов, а та, в свою очередь, образована от прозвища или неканонического имени Гайкун. Основа здесь — диалектное южнорусское или украинское слово «гайка», которое в разных говорах означало не только деталь крепежа, но и лесную чащу, рощу (от «гай» — лес). Человек по прозвищу Гайкун мог быть либо лесным жителем, либо тем, кто жил у опушки, либо, в ироничном смысле, «лесовиком» — нелюдимым или неотесанным.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: суффикс -ун- указывает на деятеля или носителя признака (ср. бегун, крикун, говорун), а затем прибавляется патронимический суффикс -ов. То есть Гайкун — «тот, кто связан с гаем», а Гайкунов — буквально «сын Гайкуна». В русской традиции фамилии на -ов/-ев массово закрепились в XVI–XVII веках, сначала у служилых людей и крестьян, а позже — по всей территории.

Интересная деталь: в отличие от более распространенной фамилии Гайков (от той же основы «гай»), форма Гайкунов встречается реже и несет оттенок прозвищного происхождения. Гайкун — не просто житель леса, а человек с яркой, возможно, выделяющейся чертой: либо любитель леса, либо тот, кого за характер прозвали «лесным». Встречаются единичные упоминания фамилии в документах XIX века по Курской и Воронежской губерниям — областям, где слово «гай» в значении «роща» было в ходу, а прозвища на -ун были особенно популярны.

Версия о связи с крепежной гайкой маловероятна для времени возникновения фамилии: металлические гайки вошли в обиход позже, и даже если бы прозвище дали слесарю или кузнецу, оно звучало бы иначе — скорее Гайкин или Гаечкин. Так что корень фамилии — природный, лесной, и предки носительницы фамилии, скорее всего, жили вблизи леса или носили прозвище, связанное с ним.