Фамилия Гажва — редкая и неочевидная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, что сразу наводит на мысль об иноязычном происхождении. Скорее всего, это украинский или белорусский вариант фамилии, записанный на слух. Если отбросить конечное -а, остается основа «гажв», которая в славянских языках не встречается в качестве самостоятельного слова. Поэтому версия о происхождении от прозвища или географического названия выглядит слабой: такого корня в русских говорах нет.

Наиболее правдоподобное объяснение — фамилия образована от имени или прозвища Габриэль (Гавриил) через его просторечную форму. В украинском языке имя Гаврило могло звучать как «Гаж» или «Гажа», а суффикс -ва (как в фамилиях Шквара, Журба) указывает на прозвищное происхождение. То есть Гажва — это «тот, кто носит имя Гаж» или «сын Гажи». В пользу этой гипотезы говорит и то, что фамилии с суффиксом -ва характерны для западных регионов Украины и юга Беларуси, где и встречается большинство носителей фамилии Гажва.

Вторая, менее популярная версия — связь с литовским или польским словом «gażwa» (газ, горючее), но она не подкреплена ни историческими документами, ни географией бытования фамилии. В польском и литовском языках такого слова нет в значении «газ» — это заимствование XIX века, слишком позднее для формирования фамилии.

В России фамилия Гажва встречается крайне редко, в основном в Краснодарском крае и Ростовской области — регионах, куда в XIX–XX веках активно переселялись украинцы. Там она могла быть русифицирована (например, писаться как Гажев или Гажвин), но сохранилась в изначальной форме. Сословно предки Гажвы, скорее всего, были крестьянами или казаками: фамилии без дворянских суффиксов редко принадлежали знати.

Спорных моментов в этимологии немного: все версии сводятся к одному — основа личная, а не географическая или профессиональная. Если у вас есть семейное предание о том, что предки были газовщиками или жили у болота («гаж» в некоторых диалектах — топь), оно может быть красивой легендой, но лингвистически не подтверждается.