Фамилия Гейнсберг — не славянская, а немецкая, и это сразу объясняет её строение. Она сложена из двух корней: «Гейнс» и «берг». Вторая часть, «-берг», в немецких фамилиях означает «гора» и встречается сплошь и рядом (Розенберг, Гольдберг, Левенберг). Первая часть сложнее. Самое очевидное — «Гейнс» может быть искажённым вариантом имени Генрих (Heinrich) в одной из диалектных форм (Heinz, Heins). Тогда Гейнсберг — это «Генрихова гора», то есть топонимическая фамилия, данная по названию места: человек жил у горы, принадлежавшей некому Генриху, или сам родом из поселения с таким именем.

Есть и вторая версия, менее популярная, но не лишённая оснований. В немецком языке есть слово «Hain» — роща, лесок. Если исходная форма была «Hainsberg», то фамилия означала бы «лесная гора». Разница в произношении невелика, и при переходе в русский язык или в записи канцеляристами «Hain» легко мог превратиться в «Гейн». Выбрать между этими двумя версиями без знания конкретной семейной истории сложно, но первая (от имени Генрих) встречается в немецких фамилиях чаще.

Географически фамилия Гейнсберг распространена не повсеместно. Она типична для ареала расселения немецких колонистов, особенно в Восточной Пруссии и на Волыни. В Российской империи такие фамилии часто получали обрусевшие немцы, и их потомки до сих пор встречаются на Урале, в Сибири и в Поволжье. В самой Германии фамилия редкая, больше характерна для еврейского населения, которое часто брало искусственные «ландшафтные» фамилии в конце XVIII — начале XIX века. Для еврейских семей «Гейнсберг» могла быть просто красивой фамилией, составленной из двух немецких слов, без привязки к конкретной горе или имени.

Словообразовательная модель здесь простая: чистое сложение основ без суффиксов. Фамилия не склоняется по русским правилам, оставаясь неизменной в падежах (к Гейнсбергу, с Гейнсбергом). В дореволюционных документах встречаются варианты написания «Гейнцберг» или «Гейнсбергъ», что подтверждает колебания в передаче немецкого «z» и «s» на слух.

Если вы носите фамилию Гейнсберг, ваши предки с высокой вероятностью были немецкоязычными переселенцами, которые жили в сельской местности или в небольших городках. Никакого дворянства или древнего боярского рода за ней не стоит — это фамилия людей труда, ремесленников или крестьян, которые получили её по месту жительства или как канцелярское обозначение.