Фамилия Гезибейкова — редкий пример русской фамилии, в основе которой лежит не славянское, а тюркское имя. Разбор её состава сразу проясняет главное: корень «Гезибей» — это составное имя, где первая часть восходит к слову «гези» (возможно, искажённое «гази» — воин за веру, или от тюркского «кёз» — глаз, зрение), а вторая — «бей» (господин, князь, правитель). То есть имя Гезибей могло означать «господин-воин» или «зоркий господин». Такие двусоставные имена с компонентом «бей» были распространены у народов Северного Кавказа, крымских татар, ногайцев и других тюркских групп, входивших в состав Российской империи.

Суффикс «-ов» в мужской форме (Гезибейков) и окончание «-а» в женской (Гезибейкова) — стандартный русский способ адаптации иноязычных имён при образовании фамилий. В XVII–XIX веках, когда крещёные представители тюркских народов или горцев получали фамилии, к их исходному имени часто добавляли русский патронимический суффикс. Таким образом, носитель фамилии Гезибейков — это потомок человека по имени Гезибей. Фамилия не могла возникнуть из прозвища или ремесла, она строго именная.

География фамилии сегодня узкая. По данным открытых источников, Гезибейковы встречаются преимущественно в Ставропольском крае и в Кабардино-Балкарии. Это совпадает с зоной расселения ногайцев и кумыков, у которых имя Гезибей (или его варианты) фиксируется в исторических записях. Встречается также написание через «а» — Газибейкова, что подтверждает связь с корнем «гази». В дореволюционных метрических книгах по Ставропольской губернии можно найти записи о крестьянах-мусульманах, принявших православие и получивших фамилию по имени отца.

С точки зрения словообразования, фамилия уникальна тем, что сохранила полную форму имени без усечения — в отличие, скажем, от фамилии Беков (от «бек»). Это указывает на относительно позднюю фиксацию (XIX век), когда имя уже не сокращали в быту. Социально предки носителей фамилии, скорее всего, были незнатными людьми — крестьянами или казаками из тюркской среды, поскольку у знатных родов фамилии часто оформлялись через суффикс «-ский» или имели арабские компоненты.

Итог: фамилия Гезибейкова — это русская по форме, но тюркская по корню фамилия, образованная от личного имени Гезибей. Она указывает на происхождение из среды северокавказских или причерноморских тюркских народов и на то, что предок носителя был человеком, носившим это имя-титул.