Фамилия Иаева — редкий случай, когда основа читается не сразу. На первый взгляд она похожа на притяжательное прилагательное от женского имени, но на деле всё сложнее. Разберём её по частям.

Ключ к пониманию — суффикс -ев. В русских фамилиях он указывает на принадлежность: «чей?» — Иаев, то есть сын или потомок человека по прозвищу (или имени) Иай. Основа здесь — Иа- (или Ия- в старом написании). Самая вероятная версия: перед нами краткая форма канонического имени Илья (от древнееврейского «Элияху» — «мой Бог — Яхве»). В народной речи имя Илья давало множество производных: Илюха, Илюша, а в некоторых говорах — Ия. От этого «Ия» через суффикс -ев- и возникла фамилия Иаев, а её женская форма — Иаева.

Есть и альтернативное, хотя и менее убедительное объяснение. В некоторых регионах бытовало редкое имя Иа — возможно, усечение от греческого Иоанн (Иван) или от библейского Иов. Тогда фамилия образована напрямую от него. Но версия с Ильёй выглядит естественнее: имя было распространённым, а «Ия» как его вариант встречается в старых переписных книгах.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и центральным областям, где имя Илья было особенно популярно. Встречается она нечасто, поэтому носители Иаевой — почти наверняка потомки одного или нескольких родов, а не массового крестьянского «перебора» имён. Социальный состав предков определить сложно: фамилия могла принадлежать и крестьянину, и мещанину, и священнику — основа слишком нейтральна.

Интересная деталь: написание через «иа» (а не «ия») — архаичное. В дореволюционной орфографии имя Илья часто писали через «i» («Iлья»), а краткая форма могла фиксироваться как «Iа». Со временем «i» заменили на «и», но в фамилии сохранилось старое буквосочетание. Так что носители фамилии Иаева хранят в своём родовом имени следы дореформенной азбуки.