Фамилия Ибгаыир — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходную форму. Скорее всего, перед нами результат искажения при записи в документы или при смене алфавита. В исходном варианте, вероятно, было Ибгаир или Ибгайир.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. В русских фамилиях почти не встречается суффикса -ыир. Это указывает на то, что фамилия не прошла обычную адаптацию через суффиксы -ов/-ев или -ин. Скорее всего, её записали «как слышали» в конце XIX — начале XX века, когда переписчики фиксировали прозвища или имена переселенцев с Кавказа или из Средней Азии.

Основа Ибга- или Ибгай- может восходить к тюркскому или кавказскому личному имени. В тюркских языках «иб» или «ип» может означать «дом», «очаг», а «гаир» (гайир) — «чужой», «другой». Таким образом, прозвище Ибгаир могло означать «чужак в доме» или «пришлый». На Кавказе (особенно в адыгских или дагестанских языках) возможна связь с именем, где «ибгъэ» — «согнутый», «склонённый», что могло стать прозвищем человека с характерной осанкой или походкой.

Географически фамилия с таким окончанием почти не встречается в центральных областях России. Её можно ожидать у потомков горских евреев, кумыков или народов Дагестана, чьи фамилии при записи в метрические книги получали необычные концовки. Если же фамилия записана у славянина, то это почти наверняка ошибка писаря: исходное Ибгаев (от имени Ибгай) при многократном переписывании могло превратиться в Ибгаыир.

Единственная надёжная версия — фамилия не славянская, а заимствованная, и её носители происходят из регионов, где русский язык был языком администрации, но не родным. Без генеалогического поиска по конкретной семье определить точное происхождение невозможно: слишком велика вероятность ошибки при первой записи.