Фамилия Иголдщошт — один из тех редких случаев, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. Перед нами, скорее всего, транслитерация или искажение немецкой фамилии. В русском языке нет корня «иголд» или суффикса «-щошт», поэтому искать славянские корни здесь бесполезно. Наиболее вероятная версия: перед нами русифицированная форма немецкой фамилии Eigoldshöft или Igoldschoft.

Разберём по частям. Первая часть — «Иголд» — восходит к немецкому личному имени Eigold (от древневерхненемецкого agi — «острие, страх» и wald — «власть, правление»). Вторая часть — «щошт» — это искажённое -shöft или -schöft, что в немецких фамилиях может означать «двор» (от Hof) или быть суффиксом, указывающим на принадлежность к месту. Таким образом, исходная фамилия могла обозначать «двор Эйгольда» или «принадлежащий Эйгольду».

География прозрачна: такие фамилии встречались у поволжских немцев, которых в XVIII–XIX веках приглашали в Россию. При записи в метрические книги незнакомое немецкое слово записывалось на слух, часто с ошибками. «Eigoldshöft» могло превратиться в «Иголдшофт», а потом, из-за особенностей почерка или диалекта, в «Иголдщошт». Носители фамилии, вероятно, были потомками немецких колонистов, живших обособленными общинами и занимавшихся земледелием или ремеслом.

Вторая, менее вероятная гипотеза — что это искажённая еврейская фамилия ашкеназского происхождения, например, Igel (ёж) с добавлением немецкого суффикса. Но сочетание «-щошт» для еврейских фамилий нехарактерно, а вот для немецких диалектных записей — вполне.

Сословная принадлежность, скорее всего, была крестьянской или мещанской, так как немецкие колонисты в основной массе не относились к дворянству. Фамилия крайне редкая; в современных базах данных она почти не встречается, что подтверждает её локальный характер — она могла исчезнуть или измениться до неузнаваемости в результате эмиграции или смены паспортных данных в XX веке.