Фамилия Игрыек — редкая и неочевидная с точки зрения русского языка. Если вы её ищете, скорее всего, она либо искажена при записи, либо имеет нерусское происхождение. В русской ономастике модель с окончанием на -ек нехарактерна для исконных фамилий: типичные суффиксы — -ов/-ев, -ин, -ский. Окончание -ек чаще встречается в западнославянских (польских, чешских) или тюркских фамилиях, где оно может быть уменьшительным или указывать на принадлежность.

Самая вероятная версия — фамилия Игрыек образована от тюркского прозвища или имени. Корень «игры» (в тюркских языках — «игра», «забава», «веселье») мог относиться к человеку с весёлым нравом, шутнику или участнику народных гуляний. Суффикс -ек в тюркских языках часто имеет уменьшительно-ласкательное значение (сравните: «оглы» — сын, «джан» — душа). Таким образом, Игрыек могло значить «маленький игрок» или «сын Игры», где Игры — личное имя или прозвище отца.

Вторая возможная версия — фамилия могла возникнуть из-за ошибки переписчика или при адаптации иноязычной фамилии в русских документах. Например, польская фамилия Игрик (от названия ноты «си» или от латинского имени Игнатий) могла на письме превратиться в Игрыек. Или же это искажённое написание фамилии Игрек (от французского y grec — «игрек», буква Y), которую давали ученикам или учителям в семинариях.

География фамилии крайне узкая. В открытых базах данных и телефонных справочниках носители Игрыек встречаются единично, преимущественно в регионах Поволжья и Южного Урала — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Это косвенно подтверждает тюркскую версию: именно там исторически жили татары и башкиры, у которых фамилии на -ек, -ак не редкость.

Сословная принадлежность предков остаётся неясной. Если фамилия действительно тюркская, носители могли быть крестьянами, ремесленниками или мелкими торговцами — прозвище «игрок» не относилось к знати. Если же это поздняя семинарская фамилия (от «игрек»), то предки могли быть выходцами из духовного сословия.

Однокоренных фамилий в русском языке практически нет. Можно вспомнить разве что фамилию Игров (от «игра»), но она образована по другой модели и встречается чаще. Фамилия Игрыек стоит особняком — это редкий случай, когда прозвище или имя сохранило свою исходную форму без типичных русских суффиксов.