Фамилия Игрюмова — женская форма фамилии Игрюмов. В её основе лежит неочевидное слово, которое не стоит путать с «угрюмый». Корень здесь — «игр-», от глагола «играть» или существительного «игра». Мужская фамилия Игрюмов образована по стандартной модели притяжательных прилагательных с суффиксом «-ов»: Игрюм → Игрюмов. Вопрос в том, что такое «Игрюм».

Самая вероятная версия: Игрюм — вариант имени или прозвища Игром, Игра. В русских говорах «игрой» называли человека весёлого, склонного к забавам, либо скомороха, музыканта. Суффикс «-юм» в этом случае — редкий, но встречающийся в диалектах способ словообразования (сравните: «весельчак» — «веселюм»). Так могли прозвать того, кто постоянно играл — на свадьбах, ярмарках, в поле. Вторая, менее распространённая гипотеза: основа от слова «игрень» — масть лошади (рыжеватая с белым хвостом и гривой). Тогда Игрюм — человек, владевший такой лошадью или похожий на неё цветом волос. Однако для фамилии на «-ов» прозвище от конской масти — случай редкий, а для «игрового» корня — типичный.

Фамилия Игрюмов (и Игрюмова) встречается преимущественно на Русском Севере и в центральных областях России, где были сильны традиции прозвищ от ремесла и характера. В дореволюционных переписях носители фамилии фиксировались среди крестьян и мещан. В отличие от фамилий от крестильных имён (Иванов, Петров), эта указывала на личное качество или занятие предка — скорее всего, он был тем, кто веселил народ.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Игров, Игрин, Игрицкий) подтверждает: все они произошли от одного корня, но с разными суффиксами. Игрюмов — один из самых редких вариантов, что говорит о локальном, возможно, семейном прозвище, которое не разошлось широко по стране. Спорных версий здесь мало: основная линия — от «игра» и «игрец» — не вызывает сомнений у ономастов.