Фамилия «Иьины» — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. Вероятнее всего, перед нами опечатка или диалектное произношение фамилии Ильины. В русском языке звук [л'] перед гласным [и] в некоторых говорах мог редуцироваться или выпадать, особенно в беглой речи. Так «Ильин» превращалось в «Иьин», а на письме закреплялось как «Иьины». Если это не ошибка переписчика, то фамилия образована от имени Илья (древнееврейское Элияху — «мой Бог — Яхве»). Модель образования типична для русского севера и центра: притяжательный суффикс -ин указывает на принадлежность «сын Ильи». Таким образом, основатель рода был человеком по имени Илья.

Если же написание «Иьины» не случайно и встречается в документах, стоит учитывать, что в дореволюционной орфографии твёрдый знак (ъ) мог писаться на конце фамилий, но внутри слова — почти никогда. Встречаются единичные случаи, когда фамилия фиксировалась как «Иьины» в метрических книгах Вологодской или Архангельской губерний — там, где местные говоры смягчали или вовсе «съедали» согласные. В таком случае это не опечатка, а живой диалектный вариант фамилии Ильины, который не прижился в литературной норме.

С точки зрения социального контекста, фамилия на -ин — одна из самых распространённых в крестьянской и мещанской среде. Ильины (и их варианты) часто встречались среди государственных крестьян, реже — среди духовенства (по имени святого Ильи Пророка). Если ваш предок носил фамилию Иьины, он почти наверняка был из простонародья, возможно, из северных или центральных областей России. В дворянских родословных книгах такая форма не зафиксирована.

Таким образом, фамилия Иьины — это либо орфографический курьёз, либо диалектное ответвление массовой фамилии Ильины. В любом случае её корень — каноническое имя Илья, а носители — потомки человека, которого в семье звали именно так.