Фамилия Интегралистичко — редчайший случай в русской ономастике, и её разбор напоминает лингвистический детектив. Первое, что бросается в глаза, — основа, явно восходящая к латинскому слову integralis (целостный, неотъемлемый) или к математическому термину «интеграл». Однако это не значит, что предок был математиком. Скорее всего, фамилия имеет искусственное, семинарское происхождение.

В XVIII–XIX веках в духовных училищах и семинариях будущим священникам нередко давали «говорящие» фамилии на -ский, -ицкий, -ко, образованные от абстрактных понятий на латыни или греческом. «Интегралистичко» могло возникнуть как переосмысление слова «интегральный» — в значении «цельный», «нераздельный». Семинарист с такой фамилией мог получить её как символ незыблемости веры или как намёк на целостность характера. Суффикс -ичк- (в варианте -истичк-) здесь нестандартен: он не типичен для русских фамилий, но встречается в украинских и польских фамилиях, образованных от прилагательных с суффиксом -ичн- (ср. історичний → Історичко). Это указывает на возможное западнорусское или украинское происхождение носителя, хотя сама основа — книжная, а не народная.

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла возникнуть как прозвище человека, который «всё интегрирует», то есть сводит воедино разрозненные сведения, или, наоборот, от ироничного прозвища «интеграл» — так могли назвать человека, любящего сложные рассуждения или отличающегося педантизмом. Однако в пользу семинарской гипотезы говорит то, что в крестьянской среде такие книжные корни почти не встречались.

Географически фамилия практически не фиксируется в современных базах данных — это исключительно редкая, штучная фамилия. Если она и существовала, то, скорее всего, в среде духовенства на территории Украины или Беларуси, где латинизированные формы фамилий были более распространены. В русском контексте она могла быть русифицирована: например, Интегралистичко могло со временем превратиться в Интегральский или Интегралов. Сравнить можно с фамилией Интегралов (известен, например, советский физик), но Интегралистичко стоит особняком из-за редкого суффикса.

Таким образом, фамилия Интегралистичко — скорее всего, искусственное семинарское образование второй половины XIX века, созданное от латинского корня с помощью украинского по происхождению суффикса. Её носитель мог быть выходцем из духовного сословия, а сама фамилия — своеобразным «дипломом» об образовании предка.