Фамилия Интергауз — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не славянское. В основе лежит немецкая или еврейская (ашкеназская) фамилия, образованная от двух корней: «интер» (нем. hinter — «задний», «позади») и «гауз» (нем. Haus — «дом»). Буквально это прозвище человека, который жил «за домом» или «позади дома». В немецкой топонимике так могли называть строение, расположенное во дворе, позади главного фасада, или человека, который в нём жил — например, прислугу или ремесленника, чья мастерская находилась в задней части усадьбы.

Вероятнее всего, фамилия закрепилась в среде немецких колонистов, приглашённых в Российскую империю в XVIII–XIX веках. Массовое переселение немцев в Поволжье, Причерноморье и на Волынь привело к появлению множества сложных фамилий, описывающих местоположение усадьбы или профессиональную принадлежность. Форма «Интергауз» — это русифицированное написание, где исходное «hinter» (хинтер) в русском произношении превратилось в «интер»: звук «h» в начале слова часто опускался или заменялся на более привычный «и».

Словообразовательная модель здесь не русская: нет типичных суффиксов -ов, -ин или -ский. Фамилия осталась в виде чистой основы, что указывает на её позднее заимствование и сохранение иноязычного облика. Встречается она крайне редко, преимущественно среди потомков немецких колонистов, а также у еврейских семей, которые могли перенять немецкую фамилию при переходе на идиш или при получении паспортов в Российской империи, где евреям часто давали немецкоязычные фамилии.

Никакого отношения к слову «интернет» или чему-то современному фамилия не имеет — это чисто топографическое прозвище. Если ваши предки носили фамилию Интергауз, скорее всего, они были либо крестьянами-колонистами из немецких поселений, либо ремесленниками, жившими в задней части двора. Точных данных о сословной принадлежности по этой фамилии нет, но в силу её немецкого происхождения можно предполагать, что носители не относились к русскому дворянству.