Фамилия Инявкина — женская форма, а её основа, мужская фамилия Инявкин, образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: от прозвища или имени через суффикс принадлежности -ин. Суффикс -ин в фамилиях указывает на то, что предок был «чьим-то»: Инявкин буквально значит «сын (или потомок) Инявки». Вопрос в том, что скрывается за основой «Инявк-».

Корень здесь — «иняв-», который напрямую связан с диалектным словом «инявый». В северных и центральных говорах русского языка так называли человека с инеем на лице, бороде или одежде, то есть замёрзшего, продрогшего. Прозвище Инявка могли дать тому, кто в мороз выходил из дома с обледеневшими усами или постоянно зябнул. Однако есть и другая, более бытовая версия: в некоторых местностях «инявкой» называли не только человека, но и предмет — например, заиндевевшую ветку или ледяную корку на снегу. В таком случае прозвище могло быть ироничным или описательным, указывающим на внешнюю особенность, скажем, седые или белые волосы, похожие на иней.

Суффикс -ка в основе (Иняв-к-а) — типичный для русских прозвищ уменьшительно-ласкательный или просто обиходный. В XV–XVII веках на Руси было множество прозвищ на -ка: Морозка, Гвоздка, Кривка. Инявка — не исключение. Такие прозвища часто давали не в официальных документах, а в быту, и они легко переходили в фамилии, когда крестьяне и посадские люди получали наследственные родовые имена после отмены местничества и в ходе переписей.

Географически фамилия Инявкин встречается не повсеместно, а скорее привязана к регионам, где «инявый» был в ходу — это Вологодская, Архангельская, Костромская области, а также Урал, куда переселенцы принесли свои говоры. Встречаются варианты написания с одной «н» (Инявкин) — это норма для фамилий, где основа не на -ий, а на твёрдый согласный.

Социальный контекст прост: суффикс -ин почти всегда указывает на крестьянское или мещанское происхождение. Дворянские фамилии чаще оформляли через -ов/-ев или -ский. Так что предки носителей фамилии Инявкина — скорее всего, крестьяне или ремесленники, жившие на севере или северо-востоке России, и прозвище им дали по заметной примете: замёрзший вид, седина или просто привычка мёрзнуть.