Фамилия Иваноф — это не орфографическая ошибка, а историческое написание, которое встречается в дореволюционных документах и сохранилось у части эмигрантов первой волны. В современном русском языке нормативным считается окончание -ов, а до реформы 1918 года в конце фамилий часто писали «ѣ» или, как в данном случае, твёрдый знак, который на письме не читался, но указывал на твёрдость предыдущего согласного. Поэтому Иваноф и Иванов — одна и та же фамилия, различающаяся только графикой.

По происхождению это типичная патронимическая фамилия: она образована от канонического имени Иван. Суффикс -ов указывает на принадлежность: Иваноф — буквально «сын Ивана» или «из рода Ивана». Имя Иван, в свою очередь, восходит к древнееврейскому Иоанн («Яхве помиловал») и стало самым распространённым мужским именем в России, что объясняет массовость фамилии — по подсчётам ономастов, Ивановы занимают второе место по частоте после Смирновых.

Вариант с «ф» вместо «в» в конце — не случайная описка. В старом правописании буква «в» в слабой позиции на конце слова произносилась глухо, как [ф], и некоторые переписчики или сами носители фиксировали это произношение на письме. Особенно часто такое написание встречается в документах XIX — начала XX века у крестьян и мещан, где грамотность была невысокой, а фамилию записывали «на слух». Позже, с введением единых правил, форма Иваноф почти исчезла, но сохранилась в семьях, покинувших Россию после 1917 года, — в эмиграции люди держались за старую орфографию как за символ утраченного мира.

С точки зрения социального состава, Ивановы (и Иванофы как их вариант) не были привязаны к какому-то одному сословию. Фамилия встречалась и у крестьян, и у купцов, и у дворян — вплоть до графского рода Ивановых, известного с XVIII века. Но в массе своей это фамилия простонародная, возникшая из отчества, которое давали каждому третьему мужчине в деревне. Поэтому предки человека с фамилией Иваноф с высокой вероятностью были крестьянами или посадскими людьми, а сама фамилия не указывает на конкретную профессию или прозвище — только на имя родоначальника.