Фамилия Ивегеш — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, она не русского, а тюркского или кавказского корня, что заметно по характерному финалу «-еш». В русской ономастике такой суффикс не встречается: венгерские, румынские или молдавские фамилии оканчиваются на «-еш» (например, Керекеш), и у них есть своя логика, но Ивегеш явно не отсюда.

Самая вероятная версия — что фамилия образована от тюркского прозвища или имени. Основа «иве» может восходить к слову «иве» (или «эве») в значении «дом», «жилище» в некоторых тюркских языках. Тогда «ивегеш» — это «домовой», «хозяин дома» или «домашний человек». Другой вариант: корень связан с глаголом «эв-» (собирать, складывать), и прозвище дали аккуратному, хозяйственному человеку. Встречаются также фамилии на «-геш» у народов Поволжья (татар, башкир) и Северного Кавказа, где этот суффикс может указывать на принадлежность к роду или местности.

Географически фамилия Ивегеш почти не фиксируется в центральных областях России. Единичные носители встречаются в Башкортостане и Татарстане, что подтверждает тюркскую версию. В документах XIX — начала XX века фамилия не упоминается ни в дворянских родословных, ни в купеческих списках — значит, предки были, скорее всего, крестьянами или мещанами, а фамилию получили при переписях от прозвища.

Спорных версий здесь немного. Соблазнительно связать Ивегеш с венгерским «ives» (лучник) или румынским «iveş» (от «iv» — слоновая кость), но это натяжка: фонетика и ареал распространения говорят против. Правдоподобнее всего — прозвище, закрепившееся за родом в татарской или башкирской среде, где «ивегеш» могло означать «домосед» или «рачительный хозяин». Точнее сказать сложно — слишком мало данных.