Фамилия Ивьева — редкий случай, когда географическое название, скорее всего, стало основой для прозвища, а затем и фамилии. В отличие от множества фамилий, образованных от крестильных имён (Иван, Илья), корень «ивь» ведёт не к человеку, а к месту.

Самый прямой путь — от слова «ивье» или «ивняк», то есть заросли ивы. В русских говорах «ивьё» — собирательное название ивовых кустов, сырое, болотистое место, поросшее ивой. Человек, живший у такого места или в нём, мог получить прозвище Ивей — «тот, кто из ивья». От этого прозвища по стандартной модели (чей? — Ивьева) и образовалась фамилия. Суффикс -ев указывает на принадлежность, характерную для русских фамилий, образованных от основ на мягкий согласный.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — происхождение от неканонического имени Ивей. В старину на Руси давали имена по растениям: Трава, Дуб, Осина. Имя Ивей могло быть дано младенцу как оберег или по внешнему сходству (гибкий, как ивовый прут). Однако прямых документальных подтверждений этому имени в доступных исторических источниках нет, поэтому версия с прозвищем по месту жительства выглядит убедительнее.

С географической точки зрения фамилия Ивьева тяготеет к северным и центральным областям России, где ивняки — обычная часть ландшафта. Встречается она нечасто, что делает её ценной для генеалогического поиска: предки, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, жившими вблизи сырых низин, пойм рек или болотистых лесов. В писцовых книгах XVI–XVII веков можно было бы найти запись вроде «Ивашко Ивей, крестьянин», но до нас такие подробности доходят редко.

Фамилия не имеет отношения к белорусскому городу Ивье: топонимические фамилии такого типа обычно оканчиваются на -ский (Ивьевский), а не на -ев. Так что если вы носите фамилию Ивьева, ваши предки, скорее всего, жили не в городе, а в глухой деревушке, где речка петляла среди ив, и это обстоятельство закрепилось за родом на века.