Фамилия Извичкина — женская форма фамилии Извичкин, и в ней стоит разобраться именно с мужским вариантом, который легче привязать к истории. Модель образования здесь классическая: основа плюс суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?»). Такие фамилии обычно возникали от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а, -я. Значит, предка могли звать Извичка или Извичко.

Корень у фамилии спорный, но наиболее вероятная версия — связь с диалектным или старым словом «извив», «извиваться». Прозвище Извичка могли дать человеку изворотливому, хитрому, умеющему выходить из сложных ситуаций. В русских говорах слово «извичка» иногда означало и привычку, обычай (от «извыкнуть» — привыкнуть). В таком случае прозвище могло относиться к человеку с определённой манерой поведения, например, к тому, кто отличался каким-то постоянным обычаем или странностью.

Менее правдоподобна версия о происхождении от имени Изот (в просторечии Извит), через уменьшительную форму Извичка. Она возможна, но не подкрепляется массовостью: фамилии на -ичкин нечастотны, и Извичкина встречается редко. Это скорее локальная фамилия, которая могла закрепиться в одной местности, например, в центральных или северных губерниях России, где диалектные слова с корнем «изв-» были в ходу.

По сословной принадлежности сказать определённо трудно: фамилии на -ин чаще носили крестьяне и мещане, но редкий суффикс -ичкин (а не -ов/-ев) указывает на то, что прозвище было личным, а не от отчества. То есть предок получил фамилию по прямому прозвищу, минуя этап патронима. Это делает фамилию Извичкина более древней по типу образования — такие варианты фиксировались уже в XV–XVI веках. Если вы ищете свои корни, стоит проверить переписные книги по Владимирской, Костромской или Вологодской губерниям — там чаще встречаются фамилии с подобной диалектной основой.