Фамилия Кагодий — редкая и звучит не по-русски. Её структура сразу выдаёт украинское или белорусское происхождение: суффикс -ий типичен для фамилий, образованных от прилагательных или прозвищ (ср. Шевченко, а также фамилии на -ий вроде Ткач — Ткачий). Ударение, скорее всего, падает на последний слог: Кагоди́й.

Корень «кагод» не имеет очевидного славянского значения. Здесь стоит присмотреться к диалектам или иноязычным заимствованиям. Наиболее правдоподобная версия — связь с украинским или польским словом «кагад» или «kogut» (петух). В польском «kogut» — петух, в украинских говорах «кагут» или «кагод» могло означать то же самое, особенно в западных регионах. Суффикс -ий тогда даёт значение «петушиный» или «принадлежащий петуху». Фамилия могла быть прозвищем драчливого, задиристого человека, либо того, кто держал много петухов или торговал ими.

Менее вероятная, но возможная версия — от тюркского «кагад» (бумага, документ) через посредничество крымскотатарского или турецкого. В этом случае прозвище мог получить писарь, переписчик или сборщик податей — человек, имевший дело с бумагами. Однако для украинской фамилии такой корень нехарактерен, и эта гипотеза слабее.

Географически фамилия Кагодий встречается почти исключительно на западе Украины — в Тернопольской, Хмельницкой, Львовской областях, а также у потомков переселенцев в России и Казахстане. В дореволюционных метрических книгах она фиксируется в Волынской и Подольской губерниях. Социально носители чаще всего были крестьянами или мещанами, реже — казаками.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, получил прозвище Кагодий (Петух) за характер или занятие, а потомки закрепили его как фамилию. Споров вокруг корня немного, и самая простая версия — от названия домашней птицы — остаётся и самой убедительной.