Фамилия Кавыйцир — редкий случай, когда в основе лежит не прозвище, не профессия и не имя, а, скорее всего, иноязычное географическое название или этноним. Словообразовательная модель здесь нестандартная: окончание -ир нехарактерно для русских фамилий, которые обычно заканчиваются на -ов, -ин или -ский. Это даёт основание предполагать, что фамилия либо искусственная (семинарская), либо принесена в русскую среду из другого языка.

Наиболее вероятная версия связывает Кавыйцир с топонимом Кавказ и тюркским или иранским корнем «цир» (вода, река, граница). В таком случае фамилия могла означать «живущий у Кавказских вод» или «пришедший с Кавказа». Подобные названия встречаются в гидронимии Предкавказья: реки Цица, Цице, а также в названиях аулов. Однако «Кавый» может быть искажением от «каба» (кабан) в тюркских языках, что делало бы фамилию прозвищем охотника или человека с грубым нравом — но это менее убедительно, так как суффикс -ир не характерен для тюркских прозвищ.

В русской ономастике есть аналоги: фамилия Кавцир (возможно, от «кавказец» с упрощением) или Кавказцев. Но Кавыйцир стоит особняком. Единственный надёжный способ проверить — обратиться к региональным архивам: фамилия могла закрепиться в среде казаков или ссыльных поселенцев на Северном Кавказе в XIX веке, когда переселенцам давали фамилии по месту выхода. Никаких известных носителей с такой фамилией в публичных источниках не зафиксировано, что подтверждает её крайнюю редкость.